【R言語と統計の備忘録】ポアソン分布のまとめと具体例 | 世のため自分のためのアウトプット

離散型の確率分布であり、二項分布の特別な場合の分布であるポアソン分布の概要や使い方についてまとめました。

二項分布はこちら：【R言語と統計の備忘録】二項分布のまとめ

～目次～

1. ポアソン分布の概要

2. ポアソン分布の確率分布

3. ポアソン分布の期待値と分散の導出

4. ポアソン分布の期待値と分散の導出(モーメント)

5. ポアソン分布のRでの扱い方

１. ポアソン分布の概要

ポアソン分布は、二項分布においてn(試行回数)が大きく、p(成功(発生)確率)が小さい場合の分布です。

ポアソン分布では、このnとpをまとめて $n\pdot p=\lambda$ とおき、一定の事象数や時間あたりの発生件数として使用します。

例えば、１年間の10万人あたりの交通事故の件数や、一定時間に窓口を訪れる人の数などが当てはまります。
他には、経済学者であるボルトキーヴィッチが馬に蹴られて死んだ兵士の数の規則性を発見した話が有名です。

この馬に蹴られて死んだ兵士の話を、上記のnとpに当てはめると以下になります。

n: 兵士の数
p: １回の出撃時に、兵士が馬に蹴られて死ぬ確率
f(x): 死んだ兵士の数がx人である確率(P(X=x))

２. ポアソン分布の確率密度関数

ポアソン分布の確率密度関数は以下になります。

$f(x)=e^{-\lambda}\lambda^x/x!$
$\lambda$ :試行回数n*成功(発生)確率p
$x$ :成功(発生)確率

このように、ポアソン分布は $\lambda$ のみに依存する分布となっています。

例題を解いてみましょう。

ある工場では、毎月不良品が平均2つ出ている。この工場で不良品が0となる確率を求めよ

$\lambda=2, x=0$ を代入します。

$f(x)=e^{-2}\pdot (2)^0/0!=$ 約 $0.135$
※0!=1となります。

約13.5%となりました。つまり、ほぼ毎月不良品は出るもの、と思っていた方が良いということになりますね。

参考に、様々な $\lambda$ での確率分布関数を以下に示します。

３. ポアソン分布の期待値と分散の導出

ポアソン分布の期待値と分散は以下になります。

$E(\bf{X})=\lambda$
$V(\bf{X})=\lambda$

この期待値 $E(\bf{X})=\lambda$ は、二項定理の期待値 $E(\bf{X})=np$ と同様であることは理解しやすいかと思います。
また、分散 $V(\bf{X})=\lambda$ についても、二項定理の分散 $V(\bf{X})=np(1-p)$ において、p→0の時に同等となることが分かります。

期待値と分散からも二項分布と同等であることが分かります。

それぞれの計算方法は以下になります。

ポアソン分布の期待値の導出

次に上記の確率分布関数から期待値を求めます。

$E(\bf{X})=\sum_{x=0}xf(x)$ ・・・期待値の公式より
$=\sum_{x=0}xe^{-\lambda}\lambda^x/x!$
$=\lambda e^{-\lambda}\sum_{x=0}\lambda^{x-1}/(x-1)!$
$=\lambda e^{-\lambda}\sum_{y=1}\lambda^{y}/(y)!$ ・・・ $x=1+y$ とする

ここで、 $\sum_{y=1}\lambda^{y}/(y)!$ は、 $e^x$ の公式そのものであるため、値を代入する。

$=\lambda e^{-\lambda}\pdot e^{\lambda}$
$=\lambda$

ポアソン分布の分散の導出

以下の公式を使います。

$V(\bf{X})=E(\bf{X}^2)-E(\bf{X})^2$

まずは、上式の左項 $E(\bf{X}^2)$ を求めます。

$E(\bf{X})=\sum_{x=0} x^2f(x)$ ・・・期待値の公式より
$=\sum_{x=0} x^2e^{-\lambda}\lambda^x/x!$
$=\lambda e^{-\lambda}\sum_{x=0} x\lambda^{x-1}/(x-1)!$
$=\lambda e^{-\lambda}\sum_{y=1}(y+1)\lambda^{y}/y!$ ・・・ $x=1+y$ とする
$=\lambda e^{-\lambda}\sum_{y=1}(y\lambda^{y}/y!+\lambda^{y}/y!)$

ここで、まずは左項 $\lambda e^{-\lambda}\sum_{y=1} y\lambda^{y}/y!$ を計算します。

$\lambda e^{-\lambda}\sum_{y=1} y\lambda^{y}/y!$
$=\lambda^2 e^{-\lambda}\sum_{y=1} \lambda^{y-1}/(y-1)!$
$=\lambda^2 e^{-\lambda}\sum_{z=2} \lambda^{z}/z!$ ・・・ $z=1+y$ とする
$=\lambda^2 e^{-\lambda}\pdot e^{\lambda}$ ・・・マクローリン展開の公式より
$=\lambda^2$

続いて、右項 $\lambda e^{-\lambda}\sum_{y=1} \lambda^{y}/y!$ を計算します。

$\lambda e^{-\lambda}\sum_{y=1} \lambda^{y}/y!$
$=\lambda e^{-\lambda}\pdot e^{\lambda}$ ・・・マクローリン展開の公式より
$=\lambda$

以上から、以下が導出できました。

$E(\bf{X}^2)=\lambda^2+\lambda$

最後に、 $V(\bf{X})=E(\bf{X}^2)-E(\bf{X})^2$ に代入します。

$V(\bf{X})=E(\bf{X}^2)-E(\bf{X})^2$
$=(\lambda^2+\lambda)-\lambda^2$
$=\lambda$

以上となります。

４. ポアソン分布の期待値と分散の導出(モーメント)

続いて、モーメント(積率母関数)を用いて期待値と分散を導出します。

モーメント関数の定義および公式は以下になります。

$M_x(t)=E(e^{tx})$ ・・・モーメント母関数
$E(\bf{X})=M_x' (0)$
$V(\bf{X})=M_x'' (0)-(M_x' (0))^2$

ポアソン分布のモーメント母関数

まず、ポアソン分布のモーメント母関数を求めます。

$M_x(t)=E(e^{tx})$
・・・3章と同様に、 $E(\bf{X})=\sum_{x=0}xf(x)$ より
$=\sum_{x=0}e^{tx}\pdot e^{-\lambda}\lambda^x/x!$
$=e^{-\lambda}\sum_{x=0}(\lambda e^t)^{x}/x!$